Bruno Ferreira

1. Panorama: processo, realização e os 3 usos

• Série temporal (tempo discreto): observações ${𝑦}_1,\dots ,{𝑦}_{𝑛}$ indexadas no tempo. A ordem importa: cada ${𝑦}_{𝑡}$ pode depender do passado.
• Processo $\left\{{𝑌}_{𝑡}\right\}$: a família de variáveis aleatórias (todas as trajetórias possíveis). Realização $\left\{{𝑦}_{𝑡}\right\}$: a única trajetória que de fato observamos.
• Três usos complementares: descrever (tendência, sazonalidade), diagnosticar (sobrou memória no tempo?) e prever para a frente.
• Diferença para a regressão tabular: não é só a forma do modelo, é que as observações são dependentes e têm ordem natural. Mesmo com covariáveis no tempo, os resíduos podem continuar dependentes (resíduo com ACF ≠ 0 $\Rightarrow$ ainda há estrutura a modelar).
• Split treino/teste é cronológico. Sortear/embaralhar linhas mistura passado e futuro (data leakage) e invalida a validação preditiva.

2. Decomposição ${𝑦}_{𝑡}={𝑇}_{𝑡}+{𝑆}_{𝑡}+{𝑅}_{𝑡}$

• ${𝑇}_{𝑡}$: tendência, nível de longo prazo.
• ${𝑆}_{𝑡}$: sazonalidade, padrão que se repete no calendário com período $𝑚$ (12 mensal, 4 trimestral, 7 diário com ciclo semanal).
• ${𝑅}_{𝑡}$: resto (o que sobra depois de nomear ${𝑇}_{𝑡}$ e ${𝑆}_{𝑡}$). Espera-se algo parecido com ruído branco.
• Com covariáveis: ${𝑦}_{𝑡}={𝑇}_{𝑡}+{𝑆}_{𝑡}+{𝑥}_{𝑡}^{𝑇}𝛽+{𝑅}_{𝑡}$. Olhar só o gráfico de ${𝑦}_{𝑡}$ mistura calendário/nível com o que as covariáveis explicariam.
• Multiplicativo: ${𝑦}_{𝑡}={𝑇}_{𝑡}{𝑆}_{𝑡}{𝑅}_{𝑡}$; tomando $log$ vira aditivo.
• Média móvel de janela 12, ${\text{MA}}_{12,𝑡}$: apaga o ciclo anual e deixa o nível lento ($\approx {𝑇}_{𝑡}$). Logo ${𝑦}_{𝑡}-{\text{MA}}_{12,𝑡}\approx {𝑆}_{𝑡}+{𝑅}_{𝑡}$, não é o resto puro.

Três gráficos para a sazonalidade mensal:

3. Ferramentas de conta: esperança, variância, covariância

Propriedades (valem para tudo que vem depois):

• $𝐸\left[𝑎𝑋+𝑏𝑌+𝑐\right]=𝑎𝐸\left[𝑋\right]+𝑏𝐸\left[𝑌\right]+𝑐$ (linearidade, sempre vale).
• $\text{Var}\left(𝑋\right)=𝐸\left[{𝑋}^2\right]-{𝐸\left[𝑋\right]}^2$ (2º momento bruto menos quadrado da média).
• $\text{Cov}\left(𝑋,𝑌\right)=𝐸\left[𝑋𝑌\right]-𝐸\left[𝑋\right]𝐸\left[𝑌\right]$ e $\text{Cov}\left(𝑋,𝑋\right)=\text{Var}\left(𝑋\right)$.
• $\text{Var}\left(𝑎𝑋+𝑏\right)={𝑎}^2\text{Var}\left(𝑋\right)$.
• $\text{Cov}\left(𝑎𝑋+𝑏,𝑐𝑌+𝑑\right)=𝑎𝑐\text{Cov}\left(𝑋,𝑌\right)$.
• $\text{Var}\left(𝑋+𝑌\right)=\text{Var}\left(𝑋\right)+\text{Var}\left(𝑌\right)+2\text{Cov}\left(𝑋,𝑌\right)$. Se as parcelas são não correlacionadas, a variância da soma é a soma das variâncias: $\text{Var}\left({\sum }_{𝑖}{𝜀}_{𝑖}\right)=𝑛{𝜎}^2$.
• Independentes $\Rightarrow$ $\text{Cov}=0$ (a volta não vale em geral). Sob normalidade conjunta, $\text{Cov}=0\iff$ independência.
• Sob normalidade conjunta, a média e as covariâncias (2º momento) determinam toda a distribuição do processo.

Funções de um processo:

• Média: ${𝜇}_{𝑌}\left(𝑡\right)=𝐸\left[{𝑌}_{𝑡}\right]$.
• Autocovariância: $𝛾\left(𝑟,𝑠\right)=\text{Cov}\left({𝑌}_{𝑟},{𝑌}_{𝑠}\right)$, e $𝛾\left(𝑡,𝑡\right)=\text{Var}\left({𝑌}_{𝑡}\right)$.
• Estacionário: $𝛾\left(ℎ\right)=\text{Cov}\left({𝑌}_{𝑡},{𝑌}_{𝑡+ℎ}\right)$, $𝜌\left(ℎ\right)=\frac{𝛾\left(ℎ\right)}{𝛾\left(0\right)}$.

4. Estacionariedade fraca

Um processo é fracamente estacionário se:

1. $𝐸\left[{𝑌}_{𝑡}\right]=𝜇$ é constante em $𝑡$;
2. $\text{Var}\left({𝑌}_{𝑡}\right)=𝛾\left(0\right)<\infty$ é finita e constante;
3. $\text{Cov}\left({𝑌}_{𝑡},{𝑌}_{𝑡+ℎ}\right)=𝛾\left(ℎ\right)$ depende só de $ℎ$ (não de $𝑡$).

Propriedades: $𝜌\left(0\right)=1$, $\left|𝜌\left(ℎ\right)\right|\le 1$, $𝜌\left(ℎ\right)=𝜌\left(-ℎ\right)$.

Fraca $\ne$ sem memória: um estacionário pode ter autocorrelação (ex.: AR(1)). Estrita (distribuição conjunta invariante) implica fraca (com variância finita); sob normalidade conjunta, fraca $\Rightarrow$ estrita.

Receita para testar um modelo: calcule $𝐸\left[{𝑌}_{𝑡}\right]$, $\text{Var}\left({𝑌}_{𝑡}\right)$ e $\text{Cov}\left({𝑌}_{𝑡},{𝑌}_{𝑡+ℎ}\right)$ e veja se dependem de $𝑡$.

5. Ruído branco (WN) e as bandas da ACF

Inovações ${𝜀}_{𝑡}$ (ruído branco, $\text{WN}\left(0,{𝜎}^2\right)$):

• $𝛾\left(ℎ\right)={𝜎}^2$ se $ℎ=0$ e $0$ se $ℎ\ne 0$; $𝜌\left(ℎ\right)=0$ para $ℎ\ne 0$.
• É fracamente estacionário e sem memória linear.
• IID$\left(0,{𝜎}^2\right)$ $\Rightarrow$ WN, mas WN $\nrightarrow$ IID (não correlacionado não é independente). Gaussiano: WN $\iff$ IID.
• Bandas da ACF amostral: $\pm \frac{1.96}{\sqrt{𝑛}}$. Sob WN, cerca de 5% dos lags saem da banda só por acaso. Sair da banda indica autocorrelação, não necessariamente não-estacionariedade.

6. Lag, ACF e PACF

• Lag $𝑘$: defasagem de $𝑘$ instantes. ${𝑦}_{𝑡-𝑘}$ é o valor $𝑘$ passos atrás.
• Operador defasagem (backshift): $𝐵{𝑦}_{𝑡}={𝑦}_{𝑡-1}$ e ${𝐵}^{𝑘}{𝑦}_{𝑡}={𝑦}_{𝑡-𝑘}$. Diferença: $\left(1-𝐵\right){𝑦}_{𝑡}={𝑦}_{𝑡}-{𝑦}_{𝑡-1}$. Diferença sazonal: $\left(1-{𝐵}^{𝑚}\right){𝑦}_{𝑡}={𝑦}_{𝑡}-{𝑦}_{𝑡-𝑚}$.
• ACF (autocorrelação no lag $ℎ$): $𝜌\left(ℎ\right)=\text{Cor}\left({𝑌}_{𝑡},{𝑌}_{𝑡+ℎ}\right)=\frac{𝛾\left(ℎ\right)}{𝛾\left(0\right)}$. Amostral:

• PACF no lag $𝑘$: correlação entre ${𝑦}_{𝑡}$ e ${𝑦}_{𝑡-𝑘}$ depois de retirar o efeito dos lags $1,\dots ,𝑘-1$ (é o último coeficiente ${𝜑}_{𝑘𝑘}$ de um AR($𝑘$) ajustado). No lag 1, PACF = ACF.

Assinaturas para identificação:

Sazonal (período $𝑚=12$): SAR(1): PACF com pico no lag 12 e ACF decaindo em 12, 24, 36. SMA(1): ACF com pico no lag 12 e corte depois; PACF decai nos lags sazonais.

7. Modelos e contas de estacionariedade

Tendência linear: ${𝑌}_{𝑡}={𝛽}_0+{𝛽}_1𝑡+{𝜀}_{𝑡}$

• $𝐸\left[{𝑌}_{𝑡}\right]={𝛽}_0+{𝛽}_1𝑡$ depende de $𝑡$ $\Rightarrow$ falha a condição 1. $\text{Var}\left({𝑌}_{𝑡}\right)={𝜎}^2$ e $\text{Cov}$ = a do ruído branco. Não é estacionário só por causa da média.
• Remoção: diferenciar, ${𝑌}_{𝑡}-{𝑌}_{𝑡-1}={𝛽}_1+{𝜀}_{𝑡}-{𝜀}_{𝑡-1}$, que tem média constante.

Passeio aleatório: ${𝑌}_{𝑡}={𝑌}_{𝑡-1}+{𝜀}_{𝑡}={\sum }_{𝑖=1}^{𝑡}{𝜀}_{𝑖}$ (com ${𝑌}_0=0$)

• $𝐸\left[{𝑌}_{𝑡}\right]=0$, $\text{Var}\left({𝑌}_{𝑡}\right)=𝑡{𝜎}^2$ (cresce com $𝑡$), $𝛾\left(𝑟,𝑠\right)=min\left(𝑟,𝑠\right){𝜎}^2$ $\Rightarrow$ não estacionário (falha a variância).
• Com deriva $𝛿$: ${𝑌}_{𝑡}=𝛿+{𝑌}_{𝑡-1}+{𝜀}_{𝑡}$, $𝐸\left[{𝑌}_{𝑡}\right]=𝛿𝑡$.
• A diferença ${𝑌}_{𝑡}-{𝑌}_{𝑡-1}={𝜀}_{𝑡}$ é WN. É o ARIMA(0,1,0).

AR(1): ${𝑌}_{𝑡}=𝜑{𝑌}_{𝑡-1}+{𝜀}_{𝑡}$, com ${𝜀}_{𝑡}$ não correlacionado com ${𝑌}_{𝑡-1}$

• Se $|𝜑|<1$ (“esqueceu o início”): ${𝑌}_{𝑡}={\sum }_{𝑗\ge 0}{𝜑}^{𝑗}{𝜀}_{𝑡-𝑗}$, $𝐸\left[{𝑌}_{𝑡}\right]=0$.
• Variância: $𝛾\left(0\right)={𝜑}^2𝛾\left(0\right)+{𝜎}^2\Rightarrow 𝛾\left(0\right)=\frac{{𝜎}^2}{1-{𝜑}^2}$.
• Multiplicando por ${𝑌}_{𝑡-ℎ}$ e tomando $𝐸$: $𝛾\left(ℎ\right)=𝜑𝛾\left(ℎ-1\right)={𝜑}^{ℎ}𝛾\left(0\right)$, logo $𝜌\left(ℎ\right)={𝜑}^{ℎ}$.
• Fracamente estacionário, com memória: ACF decai geometricamente, PACF corta no lag 1.
• $𝜑=0$: WN. $𝜑=1$: passeio aleatório (não estacionário). $𝜑<0$: ACF oscila. $|𝜑|>1$: explosivo.

AR($𝑝$): ${𝑌}_{𝑡}={𝜑}_1{𝑌}_{𝑡-1}+\dots +{𝜑}_{𝑝}{𝑌}_{𝑡-𝑝}+{𝜀}_{𝑡}$, ou $𝜑\left(𝐵\right){𝑌}_{𝑡}={𝜀}_{𝑡}$ com $𝜑\left(𝑧\right)=1-{𝜑}_1𝑧-\dots -{𝜑}_{𝑝}{𝑧}^{𝑝}$.

• Estacionário $\iff$ todas as raízes de $𝜑\left(𝑧\right)=0$ têm $|𝑧|>1$ (fora do círculo unitário). No AR(1): raiz $𝑧=\frac{1}{𝜑}$, então $|𝑧|>1\iff \left|𝜑\right|<1$.

MA($𝑞$): ${𝑌}_{𝑡}={𝜀}_{𝑡}+{𝜃}_1{𝜀}_{𝑡-1}+\dots +{𝜃}_{𝑞}{𝜀}_{𝑡-𝑞}$, ou ${𝑌}_{𝑡}=𝜃\left(𝐵\right){𝜀}_{𝑡}$.

• É sempre estacionário (soma finita de WN). Exemplo MA(1): $𝐸\left[{𝑌}_{𝑡}\right]=0$, $𝛾\left(0\right)={𝜎}^2\left(1+{𝜃}^2\right)$, $𝛾\left(1\right)=𝜃{𝜎}^2$, $𝛾\left(ℎ\right)=0$ para $ℎ\ge 2$, logo $𝜌\left(1\right)=\frac{𝜃}{1+{𝜃}^2}$ e a ACF corta após o lag 1.
• Invertibilidade: raízes de $𝜃\left(𝑧\right)=1+{𝜃}_1𝑧+\dots +{𝜃}_{𝑞}{𝑧}^{𝑞}$ com $|𝑧|>1$ (MA(1): $|𝜃|<1$). Permite escrever o MA como AR($\infty$).

ARMA($𝑝,𝑞$): $𝜑\left(𝐵\right){𝑌}_{𝑡}=𝜃\left(𝐵\right){𝜀}_{𝑡}$ (parte AR precisa ser estacionária, parte MA invertível).

8. Baselines, previsão e erro

Notação: ${\widehat{𝑦}}_{𝑇+ℎ|𝑇}$ é a previsão feita em $𝑇$ para $ℎ$ passos à frente.

• Exemplo (drift): ${𝑦}_1=10$, ${𝑦}_{𝑇}=20$, $𝑇=11$, $ℎ=2$: inclinação $\frac{20-10}{11-1}=1$, então ${\widehat{𝑦}}_{𝑇+2|𝑇}=20+2\cdot 1=22$.
• Naive tem $\widehat{𝜎}\sqrt{ℎ}$ porque ${𝑦}_{𝑇+ℎ}-{𝑦}_{𝑇}$ é soma de $ℎ$ inovações não correlacionadas (variância $ℎ{𝜎}^2$).
• Reversão à média: num estacionário com $𝜌\left(ℎ\right)\to 0$, a previsão linear tende a $𝜇$ (não ao último valor). Com $𝑑=1$ (integrado) não reverte: fica atrelada ao último nível.
• Ajustado vs previsão verdadeira: ${\widehat{𝑦}}_{𝑡}$ (valor ajustado) é previsão dentro da amostra; previsão verdadeira é para instante que não entrou no ajuste.
• Resíduo: ${𝑒}_{𝑡}={𝑦}_{𝑡}-{\widehat{𝑦}}_{𝑡}$. ${\widehat{𝜎}}^2=\frac{1}{𝑇-𝐾}{\sum }_{𝑡}{𝑒}_{𝑡}^2$, com $𝐾$ = nº de parâmetros estimados.

Diagnóstico de resíduos:

• Essencial: média $\approx 0$ e não correlacionados (sem memória).
• Desejável: variância constante e normalidade (só afetam os intervalos).
• Box–Pierce: $𝑄=𝑛{\sum }_{𝑘=1}^{\ell }{𝑟}_{𝑘}^2$. Ljung–Box: ${𝑄}^{\ast }=𝑛\left(𝑛+2\right){\sum }_{𝑘=1}^{\ell }\frac{{𝑟}_{𝑘}^2}{𝑛-𝑘}$. Sob ${𝐻}_0$ (resíduos WN), $𝑄\approx {𝜒}^2$ com $\ell -𝐾$ graus de liberdade ($𝐾$ = nº de parâmetros ARMA estimados).
• p-valor pequeno rejeita ${𝐻}_0$: sobrou autocorrelação. p-valor alto é bom sinal, mas não é “requisito absoluto”.

Intervalos e bootstrap:

• Intervalo de 95%: ${\widehat{𝑦}}_{𝑇+ℎ|𝑇}\pm 1.96{\widehat{𝜎}}_{ℎ}$ (assume erros aproximadamente normais).
• Bootstrap: reamostra os resíduos (i.i.d.) para simular trajetórias futuras. Só faz sentido se os resíduos são não correlacionados. Se sobrou memória, o bootstrap não corrige o modelo; primeiro modelar a dependência.

9. Métricas de erro

Seja ${𝑒}_{𝑡}={𝑦}_{𝑡}-{\widehat{𝑦}}_{𝑡}$ o erro na janela de teste ($ℎ$ = número de pontos).

• MAE $=\frac{1}{ℎ}\sum |{𝑒}_{𝑡}|$ (mesma unidade da série).
• RMSE $=\sqrt{\frac{1}{ℎ}\sum {𝑒}_{𝑡}^2}$ (pune mais erros grandes).
• MAPE $=\frac{100}{ℎ}\sum |\frac{{𝑒}_{𝑡}}{{𝑦}_{𝑡}}|$. Adimensional, mas explode ou fica indefinido se ${𝑦}_{𝑡}\approx 0$ e é assimétrico: com $𝑦=100$ e $\widehat{𝑦}=150$ dá $50\%$; com $𝑦=150$ e $\widehat{𝑦}=100$ dá $33\%$ (penaliza mais superestimar).
• MASE $=\frac{{\text{MAE}}_{\text{teste}}}{{\text{MAE}}_{\text{naive, treino}}}$, com o denominador dado por

Escala-livre, funciona com zeros. $\text{MASE}<1$: o método errou menos que o naive de referência (cujo erro é medido no treino).

• Escore de Winkler (intervalo $\left[𝑙,𝑢\right]$ de nível $1-𝛼$, menor é melhor):

Dentro do intervalo paga só a largura; fora, largura mais multa $\frac{2}{𝛼}$ vezes a distância ao extremo violado. Balanceia cobertura e largura (95%: $\frac{2}{𝛼}=40$).

10. Transformações e diferenciação

• Box–Cox estabiliza a variância; diferenciar estabiliza a média. Ordem usual: Box–Cox primeiro, diferenciar depois.
• $𝑑$ = nº de diferenças regulares (${\left(1-𝐵\right)}^{𝑑}$), $𝐷$ = nº de diferenças sazonais (${\left(1-{𝐵}^{𝑚}\right)}^{𝐷}$).
• Expansão de $\left(1-𝐵\right)\left(1-{𝐵}^{𝑚}\right){𝑦}_{𝑡}$:

11. ARIMA e SARIMA

ARIMA($𝑝,𝑑,𝑞$): $𝜑\left(𝐵\right){\left(1-𝐵\right)}^{𝑑}{𝑦}_{𝑡}=𝑐+𝜃\left(𝐵\right){𝜀}_{𝑡}$. Ou seja, diferenciar $𝑑$ vezes e ajustar um ARMA($𝑝,𝑞$).

• ARIMA(0,0,0) $=$ ruído branco (com média $𝑐$).
• ARIMA(0,1,0) com $𝑐=0$ $=$ passeio aleatório; com $𝑐\ne 0$ $=$ passeio com deriva.
• ARIMA(1,0,0) $=$ AR(1). ARIMA(0,0,1) $=$ MA(1).
• Com $𝑑=1$ a previsão de longo prazo não reverte à média.

SARIMA$\left(𝑝,𝑑,𝑞\right){\left(𝑃,𝐷,𝑄\right)}_{𝑚}$:

• $𝑚$ vem do calendário/frequência (12, 4, 7, …), não é estimado por AIC.
• Ciclo forte: diferença sazonal ($𝐷$) primeiro; depois veja se ainda falta $𝑑$. $𝑑$ e $𝐷$ são decididos por estacionariedade/diagnóstico, não por AIC.

Procedimento de identificação (Box–Jenkins):

1. Gráfico e Box–Cox se a variância crescer com o nível.
2. Diferenciar até parecer estacionário. KPSS (nível): ${𝐻}_0$ = série estacionária em nível; p-valor pequeno rejeita, então diferencie. (ADF é o contrário: ${𝐻}_0$ = raiz unitária.)
3. Olhar ACF/PACF (tabela da seção 6). Se ambas decaem sem corte limpo: tratar como ARMA($𝑝,𝑞$) e escolher $𝑝,𝑞$ por AICc com o mesmo $𝑑$.
4. Ajustar candidatos e comparar por AIC/AICc (menor melhor).
5. Checar resíduos (Ljung–Box, ACF dos resíduos).

AIC/AICc: $\text{AIC}=-2log𝐿+2𝑘$; o AICc corrige para amostra pequena. Só compara modelos com mesmo $𝑑$ (e $𝐷$) e mesma transformação, porque com $𝑑$ diferentes a verossimilhança é calculada sobre dados diferentes. Logo não serve para escolher $𝑑$.

12. Armadilhas recorrentes (V–F)

• Ordem no tempo é fundamental; nunca embaralhar para validar.
• Estacionariedade fraca $\ne$ sem memória (AR(1) é estacionário e tem memória).
• WN $\ne$ IID. Sair das bandas da ACF $\ne$ não-estacionário.
• Valor ajustado $\ne$ previsão verdadeira. Resíduo $\ne$ erro de previsão a $ℎ$ passos.
• Naive: a previsão não depende de $ℎ$. Média: previsão constante $𝑦$.
• Resíduos com memória: bootstrap i.i.d. não conserta.
• Escolha de $𝑑$, $𝐷$ e $𝑚$ não é por AIC.
• Passeio aleatório é não estacionário (variância $𝑡{𝜎}^2$); tendência linear falha na média.

1)

F: em uma série temporal as ordens das observações é fundamental, pois cada observação está associada a um instante e pode depender de observações anteriores

2)

b) os dados que observamos são uma realização $\left\{{𝑦}_{𝑡}\right\}$ de um processo $\left\{{𝑌}_{𝑡}\right\}$. Exp: $\left\{{𝑌}_{𝑡}\right\}$ é o processo estocástico que representa todas possibilidades de comportamento da variável ao longo do tempo, enquanto $\left\{{𝑦}_{𝑡}\right\}$ é uma realiazação do processo -> os valores efetivamente observados

3)

V: Sob normalidade conjunta a distribuição é completamente determinada por $𝐸\left[𝑌\right]$ e momentos de segunda ordem. Onde:

Normalidade Conjunta := o vetor de variáveis $\left({𝑌}_1,\dots ,{𝑌}_{𝑛}\right)$ possui uma distribuição normal multivariada conjunta, e a média é o vetor das médias.

Momento de segunda ordem := bruto é $𝐸\left[𝑌\text{²}\right]$, como $\text{Var}\left(𝑌\right)=𝐸\left[𝑋\text{²}\right]-𝐸\left[𝑋\right]\text{²}$ e conhecemos a média $𝐸\left[𝑋\right]$ e o segundo momento, conhecemos a variância e as covariâncias, logo conhemeos a distribuição conjunta normal

4)

F: em ST as observações possuem dependência temporal / ordem natural, na regressão clássica tratamos observações como unidades mais independentes

5)

F: Ajustar um modelo com covariáveis temporais não garante que os resíduos deixem de apresentar dependência temporal. O modelo pode não ter capturado toda a estrutura temporal dos dados

Resíduo := é a diferença entre o valor observado e o previsto ${𝑒}_{𝑡}={𝑦}_{𝑡}-\widehat{{𝑦}_{𝑡}}$

Resíduo sem dependência temporal: significa que o erro em um instante não fornece informação sobre o erro em outro instante. IDealmente, os resíduos são aproximadamente ruído branco: Covariância de ruídos é aproximadamente 0 para instantes diferentes.

6)

B) Resíduos de um modelo com covariáveis no tempo ainda correlacionados ao longo de indicam que: pode restar dependência temporal a modelar

7)

F: A ordem das apresentações representa o próprio tempo, embaralhá-las pode invalidar a validação preditiva.

8)

A) Os 3 usos complementares de modelar séries são: descrever, diagnosticar (memória no tempo) e prever para a frente

9)

C) ${𝑅}_{𝑡}$ é o resto depois de retirar a tendência e a sazonalidade:

${𝑦}_{𝑡}={𝑇}_{𝑡}+{𝑆}_{𝑡}+{𝑅}_{𝑡}$

onde ${𝑇}_{𝑡}$ é a tendência, ${𝑆}_{𝑡}$ é o padrão sazonal e ${𝑅}_{𝑡}$ é o componente restante da série.

Resíduo da decomposição := ${𝑅}_{𝑡}={𝑦}_{𝑡}-{𝑇}_{𝑡}-{𝑆}_{𝑡}$.

10)

1 → (i), 2 → (iii), 3 → (ii)

1. Overlay por mês, uma linha por ano → ranking típico dos meses e dispersão entre anos.

2. Série menos média móvel 12 → onda anual na seta do tempo depois de tirar o nível lento.

3. Boxplot por mês → formato do ciclo no ano e se o padrão é estável.

11)

F: ${𝑦}_{𝑡}-{\text{MA}}_{12,𝑡}$ não é necessariamente o resto ${𝑅}_{𝑡}$ puro. A média móvel 12 remove/suaviza principalmente o nível lento, mas a sazonalidade ${𝑆}_{𝑡}$ ainda pode permanecer.

${𝑦}_{𝑡}={𝑇}_{𝑡}+{𝑆}_{𝑡}+{𝑅}_{𝑡}$

Logo, subtrair ${\text{MA}}_{12}$ não é o mesmo que remover ${𝑇}_{𝑡}$ e ${𝑆}_{𝑡}$.

12)

F: em séries temporais, o split deve respeitar a ordem temporal; sortear linhas pode misturar passado e futuro e causar data leakage.

13)

V: ${𝑦}_{𝑡}={𝑇}_{𝑡}+{𝑆}_{𝑡}+{𝑥}_{𝑡}^{𝑇}𝛽+{𝑅}_{𝑡}$ separa tendência, sazonalidade, covariáveis e resto; olhar apenas ${𝑦}_{𝑡}$ mistura esses efeitos.

14)

B) ${𝜇}_{𝑌\left(𝑡\right)}={𝛽}_0+{𝛽}_1𝑡$ depende de $𝑡$, então falha a condição de média constante da estacionariedade fraca.

15)

F: o passeio aleatório tem $\text{Var}\left({𝑌}_{𝑡}\right)=𝑡{𝜎}^2$, portanto a variância depende de $𝑡$ e não é fracamente estacionário.

16)

B) o AR(1) com $|𝜑|<1$ é fracamente estacionário e tem memória linear: $𝜌\left(ℎ\right)={𝜑}^{ℎ}$.

17)

F: ruído branco exige ausência de correlação entre instantes distintos, mas não exige independência; portanto não é necessariamente IID.

18)

F: sair das bandas da ACF indica autocorrelação significativa, mas não necessariamente não-estacionariedade.

19)

B) para ruído branco ${𝑌}_{𝑡}={𝜀}_{𝑡}$: $𝛾\left(𝑟,𝑠\right)={𝜎}^2$ se $𝑟=𝑠$ e $0$ se $𝑟\ne 𝑠$.

20)

F: estacionariedade fraca não significa ausência de memória; um processo estacionário pode possuir autocorrelação.

21)

F: se $𝜌\left(ℎ\right)\to 0$, o preditor linear tende à média $𝜇$, e não necessariamente ao último valor ${𝑌}_{𝑛}$.

22)

Drift: $\frac{{𝑦}_{𝑇}-{𝑦}_1}{𝑇-1}=\frac{20-10}{11-1}=1$.

Logo: $\widehat{{𝑦}_{𝑇+2}|𝑇}={𝑦}_{𝑇}+2\left(1\right)=22$.

23)

F: no método ingênuo, $\widehat{{𝑦}_{𝑇+ℎ}|𝑇}={𝑦}_{𝑇}$ para qualquer $ℎ$, portanto a previsão não depende de $ℎ$.

24)

F: valores ajustados $\widehat{{𝑦}_{𝑡}}$ são previsões dentro da amostra; previsão verdadeira é feita para um instante futuro que não participou do ajuste.

25)

F: o resíduo é normalmente um erro dentro da amostra, enquanto o erro de previsão a $ℎ$ passos é calculado para uma observação futura que não participou do ajuste.

26)

B) no diagnóstico, é essencial que os resíduos tenham média aproximadamente zero e não apresentem autocorrelação.

27)

B) no método da média, com resíduos não correlacionados: ${\widehat{𝜎}}_{ℎ}=\widehat{𝜎}\sqrt{1+\frac{1}{𝑇}}$.

28)

F: bootstrap IID não corrige a dependência temporal existente nos resíduos; primeiro é necessário modelar adequadamente essa memória.

29)

V: $\text{MASE}<1$ na janela de teste significa erro absoluto médio menor que o do método naive de referência, cujo denominador é calculado no treino.

30)

C) o MAPE fica indefinido ou explode quando ${𝑦}_{𝑡}\approx 0$ e é assimétrico em relação ao erro percentual.

31)

B) dentro do intervalo, o escore é a largura; fora, é a largura mais uma penalização proporcional à distância até o extremo, com fator $\frac{2}{𝛼}$.

32)

F: usualmente aplica-se Box–Cox antes da diferenciação, para estabilizar a variância antes de buscar estacionariedade na média.

33)

$\left(1-𝐵\right)\left(1-{𝐵}^{𝑚}\right){𝑦}_{𝑡}={𝑦}_{𝑡}-{𝑦}_{𝑡-1}-{𝑦}_{𝑡-𝑚}+{𝑦}_{𝑡-𝑚-1}$.

34)

B) a PACF no lag $𝑘$ é a correlação entre ${𝑦}_{𝑡}$ e ${𝑦}_{𝑡-𝑘}$ depois de retirar os efeitos dos lags $1,\dots ,𝑘-1$.

35)

F: no AR(1) estacionário, a ACF decai geometricamente e a PACF corta no lag 1.

36)

O AR($𝑝$) é fracamente estacionário se todas as raízes de $𝜑\left(𝑧\right)=0$ satisfazem: $|𝑧|>1$.

37)

B) em um MA($𝑞$), a ACF corta após $𝑞$ e a PACF decai.

38)

B) passeio aleatório: $\text{ARIMA}\left(0,1,0\right)$ com $𝐶=0$;

passeio com deriva: $\text{ARIMA}\left(0,1,0\right)$ com $𝐶\ne 0$.

39)

F: com $𝑑=1$, o processo é integrado e a previsão de longo prazo não reverte à média; no passeio aleatório ela permanece associada ao último nível observado.

40)

F: AIC/AICc não deve ser usado isoladamente para determinar o $𝑑$ correto; a necessidade de diferenciação deve ser avaliada pela estacionariedade e pelo diagnóstico do modelo.

41)

C) se ACF e PACF decaem sem corte claro, pode-se tratar como ARMA($𝑝,𝑞$) e escolher $𝑝,𝑞$ por AICc mantendo o mesmo $𝑑$.

42)

No KPSS de nível, a hipótese nula é: ${𝐻}_0$: a série é estacionária em nível.

43)

F: em $\text{SARIMA}\left(𝑝,𝑑,𝑞\right){\left(𝑃,𝐷,𝑄\right)}_{𝑚}$, o período $𝑚$ normalmente vem da frequência/calendário da série; não é estimado por AIC junto com $𝑃$.

44)

F: com ciclo forte, a diferenciação sazonal deve ser considerada antes da diferenciação regular quando apropriado, e $𝑑$ e $𝐷$ são definidos principalmente pelo diagnóstico de estacionariedade, não simplesmente escolhidos por AIC.

45)

B) em um modelo SMA sazonal de ordem 1 com período 12, a ACF apresenta pico no lag 12 e corta nos lags sazonais seguintes, enquanto a PACF decai nos lags sazonais.

ljung-box no arima: recap

arima e sarima

OLS

Sazonalidade fixa ou estocástica

Efeito sazonal fixo

Janela deslizante